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[技术] 数学题求解释……

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RT。
马上要考final,我也在死磕各科争取漂亮一些的GPA嗯……

刚才,我做了一道题……
答案都正确得出了,不过其中有些东西想不通,请求KeyFC诸位数学/物理/生物帝指导启蒙……



题目在这里,我对这道题的第三问感到一些疑惑……

我觉得:在水路飞行消耗能量W和陆路飞行消耗能量L一致,也就是W/L = 1的时候,就无所谓陆路或者水路,最节省能量的飞行方式是从岛直接飞往巢穴(D)点,因为两点间线段最短。
但是得出的答案却不是这样。
第三题答案显示当W/L = 1.08(此处我近似到小数点后两位)时直接水路飞往D点可以最小化消耗能量。

……请问为什么会这样呢-。-|

我自己也重新找了这道题的类似题(就是改动了数据,将岛到对岸的直线距离改为4km,|BD|改为16km),得出的结果是当W/L = 1.03时直接飞往D点最节省能量。

一般说来水路飞行和陆路飞行消耗的能量对于同一只鸟来说都是固定的,为什么这个比值还会和|BD|有关呢?

……想不通……

求指导……
//////////////////////////////////////////

我又看了一下,对于第二问得出的分式而言,W/L的值还不能为1……
……为啥会这样呢= =|
能量消耗效率怎么会随距离变化而变化呢……
的确,可以通过距离求出效率,但是得出的结论应该是比值是无关距离的一个量才对啊-。-|


}
最后编辑东非大裂谷 最后编辑于 2011-12-04 16:10:18
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    allfox(好人卡:3张)
    本主题由 版主 东非大裂谷 于 2011/12/8 6:33:46 执行 结帖 操作
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    这个问题应该求个导就可以了> <
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      根据我的理解,大裂谷同学是想问:
          一、为什么不能根据“第二问算出来的式子”得到“鸟飞行时如果消耗能量恒定,那么就应该选择最短的直线路线”的结论。
          二、常识中“鸟飞行的能量消耗”是一个常量,为什么“第二问算出来的式子”中有个参数 x。

      对于第一个问题:
          这是两个充分条件和必要条件的陷阱。
          第一个陷阱:“第二问算出来的式子”是根据“鸟飞行时消耗的能量会根据海陆变化而变化”算出来的,也就是说是一个充分条件,所以它有效的范围也只是在“能量消耗会变化”的情况下才有效,反过来当作必要条件使用,是不一定成立的。 我这里说“不一定”是因为说到这里,我还没有证明它“不成立” ,所以我只能说“不一定”,往下看第二个陷阱。
          所以如果你想知道“鸟飞行时如果能量消耗恒定那么要选择什么路线”这个问题的答案,你就不能使用第二问算出来的式子。那么现在作出新的假设“鸟飞行时消耗的能量恒定”,那么路程会直接成为能量消耗的表示,算路程就可以了。设 x 为 BC 的长度,那么路程 f(x) 需要用一个分段函数来表示:当 x <= 15 时,f(x) = (36 + x^2)^(1/2) + (15 - x)——式子 1 ;当 x > 15 时,f(x) = (36 + x^2)^(1/2) + (x - 15)——式子 2 。这里一定要用分段函数,因为我们算得是“路程”,如果 x > 15 那么 CD 在式子 1 中就会显示成“缩短路程”,这是不符合事实的。
          那么对于这个分段函数,我们需要求它的极小值。这里是问题的关键——这个分段函数不能用“一阶导数等于零的点就是极值点”来找极值!因为这个方法的前提是函数必须不单调。然而这个分段函数的式子 1 在其取值范围内单调递减,式子 2 在其取值范围内单调递增。 这是第二个充分条件和必要条件的陷阱,我们是不能用结论来得到另外一个前提条件的结论的。所以这个分段函数的极值需要另外想办法——不过这个办法很简单:前半段单调递减,后半段单调递增,而且连续的分段函数,极值就是两端函数连接的那个点 ——也就是位于 x = 15 ,得到结论“两点之间直线最短”。
          最后总结一下:使用结论之前,一定要看清楚结论的前提。“一阶导数为零的点就是极值点”这个结论只在函数不单调的情况下有效。如果需要知道一个函数是不是单调,可以:一、画图看看(我就是用电话画图看了看^_^);二、看函数的一阶导数会不会发生正负变化——式子 1 的一阶导数永远为负数;式子 2 的一阶导数永远为正数。

      对于第二个问题:
          根据我的理解呢,实际上“第二问算出来的式子”中的参数,不只是 CD 的长度 x ,其实还包括“鸟巢的位置”、“飞行目标的位置”、“海陆分布状况”等等,只不过我们的问题把其他条件都告诉我们了,于是在式子中就被直接反映成了常数,只有 CD 的长度没有告诉我们,这是一个控制变量法,是为了某种特定目的(可能的目的1:简化问题;可能的目的2:验证某种猜测)才这样做的。如果我们的常识没有错的话,其实这所有的变量在所有情况下最终组合而成的数字,确实应该是一个恒定常数,只不过在这里我们在这里把一个变量设置为 x ,想这样来表示这个恒定常数罢了。如果考虑所有情况,设鸟飞行的能量消耗 a = x(0) op(0) x(1) op(1) ... x(n) op(n),其中 x(n) 表示第 n 个条件, op(n) 表示第 n 个组合运算,如果 a 在所有情况下为恒定常数,那么我们的常识正确;如果 a 会随着某个条件变化,那么常识错误。

      ——嗯嗯~我是好人,对吧~~
      ——今天也像有目的似的在漫步。
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      回复 3# allfox 的帖子

      嗯……LS的好人弄明白了我的意思……
      LSS虽然也是好人……不过热汀我这题是已经解出来了啊-。-|

      差不多明白了一些……昨天晚上直到临睡前都在想这事,所以睡得特别好(爆

      保险起见……总结一下自己对LS的解答的理解吧……
      1、在题设条件下(如本题岛岸距离6km,BD两点间距离15km),令x = 15,求出的W/L应该是一个临界值,在w/l大于等于1.08时都是水陆并用的飞行方式最节约EN,而小于这个值不可以用这个分式进行计算;
      ……应该是这个意思?

      2、我觉得有些变量是必须要控制的,否则没法解= =|
      在这道题里,海陆飞行消耗能量的效率应该是稳定不变的,也就是说在同一段场地飞行的耗能效率应该是“处处相等”的,否则效率如果每时每刻都在变(因为每过一段时间飞行的距离都会增加)就没法解了。
      然后其他的量……巢的距离什么的其实都可以用x表示吧- -|

      不过基于①的理解……这里也会涉及到一个临界值的问题……也许这里求出的带有x变量的W/L值只能对应未到1.08的情况……吧- -

      }
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      嗯……LS的好人弄明白了我的意思……
      LSS虽然也是好人……不过热汀我这题是已经解出来了啊-。-|

      差不多明白了一些……昨天晚上直到临睡前都在想这事,所以睡得特别好(爆

      保险起见……总结一下自己对LS的解答的理解吧……
      1、在题设条件下(如本题岛岸距离6km,BD两点间距离15km),令x = 15,求出的W/L应该是一个临界值,在w/l大于等于1.08时都是水陆并用的飞行方式最节约EN,而小
      东非大裂谷 发表于 2011/12/5 1:50:00


      前天晚上通宵dota,昨天半人半鬼了一天……

      我上一贴是单纯的在讨论数学,完全没有生物或者物理的内容哦~

      能够用第二问算出来的式子的临界条件是需要在 0 <= x <= 15 这个取值范围内,f(x) = a * (36 + x^2)^(-1/2) * x - 1 ,需要给 a 取一个值,使得 f(x) 的在取值范围内会发生正负交替、连续。至于这个 a 是多少,我也不知道,1.08 是可以,但是不是临界,我不知道。我没有办法说明临界有几个,是多少,我只能说临界是存在的,因为 1.08 是可以的。

      我觉得“功率”是一个恒定常量,跟距离无关,只跟机械的本身属性有关。鸟不管飞到哪里,它本身的功率都是恒定的,但是做的功会随着它飞行的距离变大。

      如果你试图把所有的量都用 x 来表示,就会出现最后的得到的等式是 1 = 1 、 0 = 0 或者 x = x 这样的式子哦~因为那些本身不是由 x 直接决定的量只能被 x 表示,但是不能由 x 的取值真正得到。真正得到这些量的方法是实际测量。
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        ——今天也像有目的似的在漫步。
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