1=1君说声乐区最近好冷清，于是希望猫上来发点啥，可是真要写啥，猫真是没主意，于是先来炒冷饭，大家砸砖吧 ><
以前猫发过一篇关于律学的文章（
http://www.keyfc.net/bbs/showtopic-11495-2.aspx），但是回头来看，却发现其中存在不少错误和不严密的地方，在这里猫基于那篇文章又进行了大量的修正和补充，虽然是炒冷饭，希望能对大家理解律学，理解音乐的基本元素有所帮助。
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标题：关于律学的一些基本认识作者：亡灵之猫
日期：2009年11月26日
关键字：律学 五音 音名 音分 标准音
备注：本文无需本人同意可自由转载和改写，但是希望保留文章署名和转载来源 常说的所谓“五音不全”，“五音”指的是什么？
关于这个问题引申的就是律学的研究范畴。
“五音”所对应的是中国音乐中所用的“五声调式”，这五音分别写作：宫、商、角、徵、羽。需要注意的是这里“徵”字并非繁体字“征”，而是读作<zhi3>
[1]。
在律学中，有很多不同的律制，中国的五声调式对应的律制为“三分损益律”，属于自然律制的一种。律制可以分为两大类，一类为自然律制，一类为人工律制。它们的区别主要在于，自然律制是根据改变发声物体的物理特性通过简单的比例计算推导出各个音阶的，而人工律制则是通过精密的数学运算来人为确定各个音阶。
orz看完上面的文字感觉有点头昏的人不用太当心,猫后面举例说明。
这里请允许猫分为两条线，详述中国的“三分损益律”和现在最常用的“12平均律”，以此为例来详细讲解“自然”与“人工”这两个律制的概念，同时也希望这能帮助大家对这两种律制有更全面的理解：
首先来说属于自然律制的“三分损益律”。
这三分损益律是中国最早的律学体系，它包含着古代数学智慧同时，融合了阴阳二气相生交错的古代哲学。
“律”这个字的字源就是自古代的定音工具——律管。“截竹为管谓之律”这是《月令章句》中的描述
[2]，律管其实就是一根可以吹出单音的竹管，发音原理类似笛
[3]，古代为了定音计算的准确性，律管的管径、长度、开闭都是有严格的规则限制的。
在司马迁的《史记》“律书第三”中写到：“……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。”
[4] 这就话就是说，设一根律管长度为81单位，九九归一，81长度的律管发声为“宫”；此时截去律管长度其中三分之一（三分损一，即81×2/3=54），54长度单位的律管发声为“徵”；“徵”音律管长度增加三分之一（三分益一，即54×4/3=72），72长度单位的律管发声为“商”；“商”音律管再次截去三分之一（72×2/3=48），48长度单位的律管发音为“羽”，“羽”音律管长度增加三分之一(48×4/3=64)，64长度单位的律管发音为“角”。这个过程就像古代八卦推演一般，阴阳交错（损益交错）生生不息，富含哲理。
宫、商、角、徵、羽这五个音是三分损益律的五个主音，特点是以81为宫时，三分分损益他们都是整数(81、72、64、54、48)，推出“角”音之后再次相生推演，则得到一系列有理数，称之为相生律，于是有了加入“变徵”（64×2/3=42.666...）和变宫（42.6667×4/3=56.888...）的七律，最终推演至十二律
[5]。
上面的数据都是以律管的长度比例来说，那么律管的长度比例其代表的物理意义是什么呢？
其实三分损益律所定的律管长度比例就是声音的波长比例。
在更早的春秋、秦汉时代，人们不是使用律管来定音的，当时人们并不知道律管的管径、闭合对音高的影响，由于竹管管径的均匀程度不同，导致律管难以定音。于是人们使用一种叫做“均钟”的定音标准器来为编钟定音，钧钟的构造大致为一个细长的木质音箱，箱体上穿过十三条细丝线，细丝线的长度正好是三分损益推导的十二律比例数（至八度回归），由于其特殊的设计构造方式致使各弦轻弹时发声的频率正好与弦长呈一定的比例，古人以此为编钟精确定音
[6]。
弦的震颤实质是一种波，我们任意拿起手上的一种弦乐器，例如吉他，拨动其琴弦，我们都能明显的观察到琴弦震颤的那种波，而钧钟上弦长的变化就会带来弦往复波动速度的变化，即波长变化，波长变化在空气中传播则形成了不同的声音频率。自然律制实质就是通过调整乐器发声的震颤的波长比例来获得实际的音高变化。
钧钟由于丝线的松紧易受温度和湿度的作用而影响定了音精度，于是魏晋时期的音乐家荀勗<xu4>改进了以前的律管，底端由闭和改为开放，减小了气流共振的复杂性，他还使用一支高音律管进行比例差计算从而修正了管径对应准造成的影响，大大提升了律管的定音精度。荀勗成功制作了12只对应12律的的律管，从此律管成为了中国音乐律制中最重要的定音度量标准。
古代三分损益求出的12律其声音波长比例与现今的十二平均律大致相仿，宫、商、角、徵、羽五音大致对应平均律的C、D、E、G、A五个音，但是三分损益计算中存在着大量无法除尽的比例参数，因此最终的计算结果无法循环回宫调，八度之间总是存在着细微的误差，因此三分损益律的旋宫变调比12平均律麻烦了不少，泛音准确性也有所差距。
顺便提一点有趣的事，十二律的音高比例与十二平均律其实是大致对应的，更巧合的是前七律的推导分别对应十二平均律音名F、C、G、D、A、E、B，这正好是五线谱的调号中升号（#）的书写顺序，这是一个非常有趣的学术巧合，也是一种音乐实践中的共性，五线谱记谱的升降号的排列组合方式是按照五度音程循环演进的，也就是乐理中的五度圈概念，三分损益正好是以五度的近似值在变化的，这样变音的时候只要按照固定的规律就能找到一个非常和谐的五度音程，确实是非常方便。
随着音乐的发展，人们对音乐变调转调的要求越来越高，于是人工用数学方式均分频率的人工律制逐渐的发展了起来。
那么转过头来说人工律制，我们最熟悉的人工律制莫过于近现代被人们广泛使用的十二平均律。
关于十二平均律概念最早的文献来自于明代郑恭王长子朱载堉（1536～1611）所著的《律吕精义》、《乐律全书》，同一时代的比利时数学家斯蒂文（1548～1620）去世后留下的遗著《De Spiegheling der Singconst》
[7]也同时提出了这个概念。因此两人同被誉为十二平均律的发明者。
十二平均律所对应的事实上就是我们音乐中常见的十二个音：C、#C、D、bE、E、F、#F、G、bA、A、bB、 B、C（回归）
[8]。与其他自然律制不同，十二平均律的音阶是通过在基础频率2倍的频率范围内求n/12次方的幂求得的12个音阶频率，在听觉上的效果如同于将一个2f泛音
[9]的间距12等分化，我们把这等分化的每一阶音阶称为“半音”。
那么在十二平均律中，我们常用的七个基本音阶C、D、E、F、G、A、B的半音关系如下：
C - D 间距2个“半音”；
D - E 间距2个“半音”；
E - F 间距1个“半音”；
F - G 间距2个“半音”；
G - A 间距2个“半音”；
A - B 间距2个“半音”；
B - C(回归) 间距1个“半音”。
不属于七个基本音的其他音则在基本音的基础上前面附加升降记号(#和b)组合而成。
12平均律的好处在于，只要随意给出一个音的频率(f)就可以通过公式：f×2^(1/12)求得该音在12平均律中的下一个音阶的频率，还可以通过f×(2^(1/12))^n求出该音后面第n个音阶的频率，这为音乐的转调以及各种乐器的统一定音提供了非常大的便利，人们旋宫转调的时候，不用像三分损益律那样重新从宫音为基础，反复相生运算，并且大大提升了各音程的精准性。
由于表达式2^(1/12)得到的结果是一个无理数，通常为了计算方便，表达式可以被近似写为常数1.0594630943592952645618252949463或者1.059463
[10]。
顺便说一下，每当提起12平均律作品，人们第一个想到的必然是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（1685～1750）创作的两部平均律键盘作品，即24个大小调前奏曲与赋格（BWV846-BWV893）。这可以说是人类音乐史上第一部最完整的诠释了十二平均律当中包含的24个大小调式的不朽作品，虽然之前也有很多人做过类似的尝试，但是却都没能做到如此的完整，如此的精妙，如此的具有影响力，甚至后世也没有人在此类题材的作品中全面超越他。因此大家都来膜拜一下吧 m(_ _)m
猫觉得音乐世界中充满了戏剧性的巧合，不论是中国古代的三分损益律，古希腊的五度相生律都不约而同的推导出了各自的十二音，中国古代更将十二律融入了一年十二个月当中，揭示着万物皆规律的哲理，最后不论是三分损益律、五度相生律还是阿拉伯的四度相生律，殊途同归都选择了向着12平均律演化，这12个最接近各种自然律制的音阶虽然只是人类音乐发展进程中很多可能性当中的一种，但是对于人类来说也许也是最优的一种发展方向。这一切都是在一系列的巧合中悄然演化。
说完了关于律制的故事后，让我们回到自己的工作台前，具体的看看我们现在的音乐世界，看看我们每天写曲都不知不觉的在遵守着什么样的律学规则。
首先我们来谈谈关于现代音乐理论中关于音名的标注方法，了解这些对于我们这样每天和音频工作站打交道的人来说是非常有益，而且将更加方便大家今后在音乐创作上的学习交流能力。
前面我们已经了解，在十二平均律当中有十二个音阶，其音名分别为C、#C、D、bE、E、F、#F、G、bA、A、bB、 B最后循环回到C音。十二平均律的这种音阶循环在人耳的听觉极限范围内会重复近十次，也就是说同时存在着数个C音，数个G音或者其他的音，他们分布在不同的八度当中。那么有没有什么标准可以给我们可能用到的每一个音阶都标注一个唯一的名称呢？
其实目前有两种流行标称方式，一种是物理学的音名标称方式，一种是音乐学的标称方式。
物理音名标称法通常用于数字音乐软件或者声学研究领域，这种标称方式具有音高和物理频率一一对应的特征，非常方便于量化描述和程序设计逻辑，但是从习惯上我们不把这种标注用来进行乐理方面的交流活动。
物理学上的音名标注通常按照如下的结构组合：
<十二平均律音名><组序号>{音分修正(上标)}
[11] “十二平均律音名”即为C、#C、D、bE、E、F、#F、G、bA、A、bB、 B 十二个标记。
“组序号”起始为0，每上升一个八度序号加一。
“音分”通常以上标的形式书写，它是现代音乐研究的一个更加精细的修正量，通常用于音乐考古领域，一般应用时人们是不标注音分的，关于音分的具体概念我们后面再来细说。
以下我们来举几个物理学音名的例子：
C0 这个音是物理学音名的元点，它是物理学音名中的“最低音”，通常这个音的频率约等于16.35Hz，这是根据“国际标准音”（后面会提到）计算出来的人类听觉极限中最低一个八度的起始音。
C4 是物理学音名中对应中央C
[12]的音，它代表着从C0开始向上推4个八度的音。
A4 是物理学音名中对应国际标准音的音，它代表着从C0开始向上推4个八度并附加9个“半音”（大六度）的音。
bB5 代表着从C0开始向上推5个八度并附加10个“半音”（小七度）
E3+14 代表着C0开始向上推3个八度附加4个“半音”（大三度）的音，并增加14个音分作为修正，“+14”通常写作上标，音分代表着音的频率误差，在标准频率上增加值标记为“+”号，减小值标记为“-”号，没有误差则标记为“+0”或者省略不写。
对于音分的概念还不是很理解的人不要心急，等我们继续讲完音乐学的音名标称方式之后，会进行详细的解析，当然您也可以跳过这部分直接去阅读相关段落。
音乐学标称方式主要用于音乐学术交流领域，对于接触过一些键盘乐器的人来说非常容易辨识，利于交流。
音乐学上的音名以中央C为中点分为“大字组”和“小字组”音名。中央C及中央C以上的音称为小字组音名，通常用小写字母表示
[13]，中央C以下的区域称为大字组音名，通常用大写字母表示。
大、小字组的音名都是以0为起点计数的。在钢琴键盘上看，从中央C向右第一个八度（包含中央C）称为小字组（不称呼为小字0组），第二个八度称为小字1组，第三个八度称为小字2组……以此类推；大字组和小字组的命名方式一样，中央C向左推的第一个八度称为大字组，第二个八度称为大字2组……
以下是从大字1组到小字1组的基本音列表示例：
... C1 D1 E1 F1 G1 A1 B1 C D E F G A B c(中央C) d e f g a b c1 d1 f1 g1 a1 b1 ...
在五线谱中高音谱号区域通常用于标注小字组的音符，低音谱号的区域主要用于标注大字组的音符，如果音域持续处以大字组范围内，建议将谱号变换为低音谱号表示，如果持续处于小字组范围内，建议变换为高音谱号表示，如果长时间游离于两者之间的话则建议用中音谱号。
不过应当注意的是很多高音乐器或者低音乐器在记谱的时候会与乐器实际的音高差距1个八度，这个时候乐器上各个音的音名也应当跟随着迁移位置。也就是说音乐学上的音名与物理学的不同，他的音名包括中央C的位置都是是和具体的乐器相关的，是一种相对位置，因而音乐学上的音名和具体的物理频率本质上没有一一对应关系。
讲完了关于音名的问题之后，猫最后再来说关于现代音乐研究中所涉及的国际标准音和音分概念。
在过去，乐器的调音都是没有公共标准的，要么是由乐队自行指定，要么则是通过某种区域性的标准器
[14]来确定，然而面对近代工业文明的飞速发展和日益频繁的国际音乐合作，如果没有一种能够被普遍认可的音律标准，那么乐器的定调、乐团的合作都会面临诸多的障碍。
于是1834在德国斯图加特会议上，物理学家们定义440Hz这个频率为物理音名A4的标准频率，这样根据12平均律的计算公式就能很容易推导出一个可以共通使用的音名、频率映射表，这为乐器的标准化提供了非常重要的参考。于是440Hz这个频率被人们称为“国际标准音”或“第一国际标准音”，现代的大多数乐器都是按照这个标准进行调音的。
同样的情况，在1859年法国巴黎会议上，音乐家与物理学家们又商定了435Hz为A4的标准音，这个频率同样是国际标准，并在为一些乐器制造商和乐队所使用，称为“第二国际标准音”，以它为标准的物理音名C0频率大约为16.16Hz。不过第二国际标准音在影响力方面目前远不如第一国际标准音，我们常用的大多数音乐软件都是以第一国际标准音为标准开发制造的。
国际音高统一之后，音乐考古研究上又开始有麻烦，因为过去的乐器都不是标准化的乐器，它们的调音方式和标准乐器之间都存在着误差，人们希望在研究这些乐器乃至现代乐器的调音时能够有一套精度比十二平均律精度更高的算法能够在物理上精确定调，于是音分的概念出现了。音分的实质就是将十二平均律中每一个“半音”的音高在进一步平均分成100份，即将每个八度分为1200音分。于是在标准化的平均律音名中，每个半音基础上都有上下100音分的修正值用于更加精细条件下的定调和调音。
一般而言人的耳朵大约能分辨12音分左右的音高，如果经过训练的话可以进一步分辨出2至4音分的音高差距。所以通常情况下乐器调音的误差应当不超过±2音分。
音分可以用于标注绝对音高，也可以用于标注一个修正值，示例如下：
0音分：属于绝对音高的标注方式，其意义与物理音名C0一致。
4800音分：属于绝对音高的标注方式，其意义与物理音名C4（钢琴键盘上的中央C音）一致。
C4-24：属于相对音分修正的标注方式，即代表比物理音名C4低24音分的音。
A5+10：属于相对音分修正的标注方式，代表比物理音名A5高10音分的音。
音分用作修正量时，一般情况下应当写为±50范围内。
音分的好处在于能够非常精确的衡量音律的同时，又尊重了人的直观听觉感受，相比乏味而抽象的频率参数，音分更容易用于描述音律。
当然音分的概念其实已经非常接近物理层次的东西，而且在音乐研究中人们时常要在音分和频率之间进行精确的换算，那么猫下面也来具体讲一下音分和频率之间的换算方式，顺便将这个公式的推导过程也一并列出来，这个公式对于喜欢音乐编程的人来说是相当有用的，不过不感兴趣的话也可以跳过。
首先猫先求出物理音名C0的具体频率
[15]：
440*(2^(1/12))^-57 ≈ 16.351597831287414667365624595243（Hz）[16] 前面已经提到过参数(2^(1/12))为十二平均律中每个半音的间距，而57则是A4与C0间距的“半音”数，C0的计算结果在一般情况下只写作16.35Hz，但是计算时请尽可能的提高精度。
音分转换为频率推导过程：
f=16.351597831287414667365624595243 * (2 ^ (1 / 1200) ) ^ n
f=16.351597831287414667365624595243 * 1.0005777895065548592967925757932 ^ n f为频率，n为音分数，这里用的是绝对音高的方式标注音分，要转换为修正音分的方式其实很简单：
f'=16.351597831287414667365624595243 * (2^(1/12)) ^ n' * 1.0005777895065548592967925757932 ^ n
f'=16.351597831287414667365624595243 * 1.0594630943592952645618252949463 ^ n' * 1.0005777895065548592967925757932 ^ n f'为修正频率，n'为基本音名与C0的间距，n为修正的音分数。其实更简单的这个公式还能写为：
f'=16.351597831287414667365624595243 * 1.0005777895065548592967925757932 ^ (n + 100 * n') 每一百个音分就是一个“半音”，公式中很容易就能套用进去。
而频率换算音分公式则有些麻烦，推导过程：
log(f) = log(16.351597831287414667365624595243 * (2 ^ (1 / 1200) ) ^ n)
log(f) = log(16.351597831287414667365624595243) + log((2 ^ (1 / 1200) ) ^ n)
log(f) = log(16.351597831287414667365624595243) + n*log(2 ^ (1 / 1200))
log(f) = log(16.351597831287414667365624595243) + n*log(1.0005777895065548592967925757932)
log(f) = 1.2135601970822767539124180107516 + n*0.00025085832971998432934478241225544
n = (log(f)-1.2135601970822767539124180107516)/0.00025085832971998432934478241225544 f为频率，n为音分数，log代表的其实是log10()，公式中使用了对数的变换公式，不明白的可能得回去看看高中课本了，由于公式中需要解对数函数，因此给编程带来了一些麻烦，建议寻找一些开放的函数库，如果没有找到合适的函数库的话，这里提供一个参考函数库
[17] http://www.cise.ufl.edu/class/cop4600/minix/src/lib/math/ 公式推算出的是音分的绝对音高标注方法，要求出相对音高修正的表达方式需要进一步的对n进行换算
用n / 100 的结果取整求出物理音名标准值，余数作为修正的音分值。
以上的公式根据实际的应用还能产生很多的变体，这些都需要大家自己去实践。
自此猫关于音律的问题也介绍完了，律学有很多很多的科目，很多很多的研究分支，但是最基本的东西不过本文提到的这些。单学理论其实蛮枯燥的，但是掌握了这些基本的东西之后，再去投入到应用就充满了乐趣。猫写这篇文章花了好几天，但是写完之后回头来看，也觉得这些努力是非常有趣味的。
上一次写律学的文章中由于自己的粗心大意，让文章出现了很多的错误和漏洞，在此猫深表歉意。猫希望这篇文章能对大家学习音乐有所帮助，也希望达人能来帮忙捉虫。
以下网站在猫写作中提供了大量有用的参考，在此猫非常感谢这些网站和文章的原作者：
中文维基百科
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/汉典
http://www.zdic.net/jioukankan的博客转载文（原作者 彭林）
http://hi.baidu.com/jioukankan/b ... 2d2b311e30896c.html文章中所计算出来的各种参数均由Windows 7自带的计算器计算得出
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注释：[1]：和“纸”同音，有疑问可参考汉典
http://www.zdic.net/zd/zi/ZdicE5ZdicBEZdicB5.htm[2]：参考自汉典
http://www.zdic.net/zd/zi/ZdicE5ZdicBEZdic8B.htm[3]：古文中的笛，与现在我们认知的横笛不同，它是竖着吹的，类似洞箫。它靠一定角度吹入气流在管腔内引起空气共振发音。
[4]：这句话引用自维基百科
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%8D%81%E4%BA%8C%E5%BE%8B[5]：按照三分损益规律顺序分别命名为：黄钟（宫）、林钟（徵）、太簇（商）、南吕（羽）、姑洗（角）、应钟（变徵）、蕤<rui2>宾（变宫）、大吕、夷则、夹钟、无射、仲吕
[6]：本段落的编写参考自
http://hi.baidu.com/jioukankan/b ... 2d2b311e30896c.html[7]：参考自
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%96%AF%E8%92%82%E6%96%87[8]：不带升降调符号的7个音名称为“基本音”，而音名和升降号的标称并不固定，例如用作小调式调名中bA通常写作#G，更有特殊的例子，例如E调性的曲子中第一音升半音使用时，习惯使用音名#E而不是F。其实不论怎么标注，只要明白其中的半音关系，就能方便的自行代换。
[9]：声音信号中一个基本频率的倍数频率上叠加的信号称为泛音，2f泛音的频率恰好为原始频率信号的一倍，也就是听觉上一个八度的音高。
[10]：数据使用Windows7自带的计算器计算生成，比原先使用的谷歌计算器相对精确了不少～
[11]：尖括号中的内容是必须的，大括号中的内容是可选的。
[12]：这里指的是钢琴键盘上从左到右数第24个白键，位于钢琴键盘中央的C音，五线谱标记为高音谱号区域下加一线的位置，通常中央C代表的频率约等于261.6Hz。
[13]：注意这里是作为音名而非调号用，作为调号时小写字母表示小调式。
[14]：即音律方面的标准器，提供一个或一组标准频率作为乐器调音的基础，遵循该标准器进行调音的乐器具有相同的物理音程特性可以方便的进行合奏，前文提到的钧钟或者律管都是古代的标准器。
[15]：这里以第一国际标准音为计算基础。
[16]：由于计算精度问题，末尾的两位数43其实是有误的,采用(4/2^5)*(2^(1/12))^3计算出的正确值应当为16.351597831287414667365624595205，但是大家没必要去理会这个误差，在人类的听觉范围内这个误差不会带来任何问题
[17]：摘自CSDN论坛
http://topic.csdn.net/t/20020111/17/472398.html