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西门喷饭 - 2009/8/12 17:55:00
这应该是个概率的入门题目：
美国电视台有个节目，是叫嘉宾翻板子，一共三个板子，其中一个后面是汽车，另外两个是绵羊，翻到什么就得什么。在嘉宾选定了一张之后，主持人要问他是否要更改所选结果（当然，主持人知道那块后面是汽车，且现在还没揭晓结果）。为什么说如果此时更改了之前的所选结果，中汽车的概率要提高呢？
笨来想丢到求助区的，但是这帖跟KEY没什么关系……所以就放这里来了
keyfanjun - 2009/8/12 18:09:00
乃应该放去土豆星的OTL
如果之前就选中的话，改变主意之后是怎么选都不中，但是要是之前选错的话，之后就是50%的机会了…………啃
西门喷饭 - 2009/8/12 18:15:00
应该是说不改的话就是1/3，如果改的话有2/3的概率变为1/2，1/3的概率选不中啊
nemoma - 2009/8/12 18:21:00
嗯，很有名的问题啊
好吧，先设此人第一把摸到汽车的概率为P(1)，则很容易推测出P(1)=1/3
那么当此人选中了一个选项时，他摸到汽车的概率等于且恒等于1/3。
但是现在的问题是主持人给了他第二次选择的机会，那么这个概率值就相应地转化成了让嘉宾从三个里面挑两次的概率值，这时又有两种可能：
A：嘉宾在第一次选择时选了后面有汽车的选择，然后再次改换了选择导致拿不到汽车。这种可能性和P(1)相等都是1/3.
B：嘉宾第一次选择的砖快后面其实是绵羊，这样剩下两个方块后面有汽车的概率就是1/2.也就是说这样摸到汽车的概率升高了。
以上，可以推出：嘉宾如果更改了选择，有较大的可能性能获得汽车…………
吗？你太甜了！！
我们再看一下，就算嘉宾重新选择，他的选择范围其实还是在这三块板子上面，嘉宾可以选择不变换他的第一次选择，而嘉宾也没有任何方法来缩小这个概率事件的分母（他还是只知道“一个板子后面有汽车，另外两个板子后面有绵羊“，仅此而已。）所以就算他改选，他的选择成功的概率实际上还是1/3，也就是不变。之所以构成了上面”概率增长“的假象，是因为我（以及题目）偷换了一个已知条件：嘉宾无法得知任何砖块后面的结果。
嘛，其实上更有名的是另外的问题：如果在嘉宾做过第一次选泽以后，主持人翻开了另一块砖块，显示出后面是绵羊，那么这时嘉宾改选，得到汽车的可能性会增加么？这个问题提供给楼下思考，请提出详细证明。
以上。完毕。
wdx04 - 2009/8/12 18:36:00
回楼上的问题：
因为嘉宾一开始就猜对的概率是1/3，如果不改的话：
实际概率=1/3*100%[一开始猜对了，而且不改]+2/3*0%[一开始没猜对，而且不改]=1/3
如果改的话：
实际概率=1/3*0%[一开始猜对了，但改了]+2/3*100%[一开始没猜对，但改了]=2/3
改了比较好。
关键就在于最后那个100%，总共只有3个板子，如果你一开始猜错的话，按题意主持人既不会开你猜的这个，也不会开有车的那个(这里有个前提是先打开有羊的板子是节目的固定步骤，主持人没有选择不经这一步而直接公布答案的权力)，那么他只剩下1种选择，而且剩下那个一定是车，因此概率不是50%而是100%。
西门喷饭 - 2009/8/12 18:38:00
原帖由 wdx04 于 2009-8-12 18:36:00 发表
回楼上的问题：
因为嘉宾一开始就猜对的概率是1/3，如果不改的话：
实际概率=1/3*100%[一开始猜对了，而且不改]+2/3*0%[一开始没猜对，而且不改]=1/3
如果改的话：
实际概率=1/3*0%[一开始猜对了，但改了]+2/3*100%[一开始没猜对，但改了]=2/3
改了比较好。
关键就在于最后那个100%，总共只有3个板子，如果你一开始猜错的话，按题意主持人既不会开你猜 |
嗯嗯~~9494
dimela - 2009/8/12 18:40:00
在不知道结果的情况下....三个选择是等可能的..................“为什么说如果此时更改了之前的所选结果，中汽车的概率要提高呢？”此为伪命题.......说选择剩余的就是2/3的概率中奖1/2这就是以主持人已知道答案的角度看嘉宾........而实际对于嘉宾.....其已选择的选项并不知道已中奖，所以剩余两张的中奖概率依然是2/3，每张是1/3........并没有变
笨方法理解....楼主若认为选剩余两张中奖概率会更大的话.....1，2 3........选23中任一个如2,剩下再选13，按lz理解概率会继续增大吧....那无限选下去....有两张的中奖概率成一....一辆车变两辆了....岂不笑话了...............
p.s.这是嘉宾与主持人信息的不对等造成的....
p.s.2:美国也是有不少白痴的......
小小的心愿 - 2009/8/14 18:15:00
真是好问题...啃<<<:Tuzki5:
认真看了LZ的问题,是不是说选了一板后只能有一次反悔的机会?
如果是这样的话,我猜嘉宾能翻到车子的概率是三分之一或二分之一或0
でもね、综合来说是三分之二
猜的，没什么经验，自学的其实没什么感觉
004307ec - 2009/8/15 9:21:00
这和以前的彩票抽奖一样的……
一百张票里只有一张中奖
但是只要抽奖的人不互相告诉
无论先后
那么每个人的中奖率都是0.01
回nemoma：
由于已经知道一个为绵羊（时间顺序此时无所谓）
那么就是二选一，必然1/2的概率（因为未翻开剩下的两个，此时改选和一次选择无区别）
（当然……主持人不要在只是乃选车的时候故意那啥……|||）
Prz - 2009/8/15 12:51:00
楼上，命题不这样的。
命题其实是: 3个选项，两个错，一个对: 错1 错2 对
不论你最开始的选择是什么，主持人肯定会翻开一张错的给你看，然后问你改不改。
(因为有两张错的，就算你选了一个错的，还有另外一张错的他可以翻)
如果你不改，你选对的几率就只有1/3。
但是如果你改了，可能的情况就如下：
:
1/3: 一开始选对，然后改成错1或者错2。最后结果: 错。
1/3: 一开始选错1，然后改成对。最后结果: 对。
1/3: 一开始选错2，然后改成对。最后结果: 对。 |
所以你有2/3的机会选对。
问题的关键在主持人。
如果他是随机选的，那么有1/3的机会他会把对的翻开，这样你就没有机会选对了。
但是他被限定不能翻对的，因此造成了你改变选项以后对的几率变高。
Prz - 2009/8/15 13:11:00
问题的关键在主持人。
如果他是随机选的，那么有1/3的机会他会把对的翻开，这样你就没有机会选对了。
但是他被限定不能翻对的，因此造成了你改变选项以后对的几率变高。 |
改变游戏的核心就是主持人。
如果主持人是随机选的话，那么这个命题就一个纯粹的三选一没什么区别了，因为你改不改都只有1/3的机会。
如果你不改，你选对的几率就只有1/3，这个还是一样。
如果你改了，可能的情况如下:
1/3: 一开始选对，然后改错1或者错2。最后结果: 错。
1/3: 一开始选错1，然后主持人有1/2的机会翻开正确的，那么GameOver；另外1/2的机会他选了错2，你改成对的。最后结果: 1/2的机会改对。
1/3: 一开始选错2，然后主持人有1/2的机会翻开正确的，那么GameOver；另外1/2的机会他选了错1，你改成对的。最后结果: 1/2的机会改对。
最后结果，有两个1/3的情况你有1/2的机会改对，结果还是只有1/3的机会对。
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seagull - 2009/8/15 13:24:00
这个已经有定论了。
lz给的题设并不完整。分几种情况。
1. 主持人在翻开一只羊之后让嘉宾重新选择。
这时换得到汽车的概率是2/3，不换是1/3
最简单证明：一开始选了羊必然换成车，一开始选择车必然换成羊。
一开始选到羊的概率是2/3，一开始选到车的概率是1/3。
2. 主持人不翻开，而只是在嘉宾选到车的时候给一次疾患误导嘉宾
这时换得到汽车的概率是0%。
当然还有很多变种，比如如果主持人并不知道后面是什么，而开出了一只羊，那么换与不换都是1/2概率。
Prz - 2009/8/15 16:46:00
如果主持人并不知道后面是什么，而开出了一只羊，那么当然要换，因为这种情况和1是一样的，换了是2/3的胜率。
redeemer1001 - 2009/8/15 19:38:00
原帖由 seagull 于 2009-8-15 13:24:00 发表
这个已经有定论了。
lz给的题设并不完整。分几种情况。
1. 主持人在翻开一只羊之后让嘉宾重新选择。
这时换得到汽车的概率是2/3，不换是1/3
最简单证明：一开始选了羊必然换成车，一开始选择车必然换成羊。
一开始选到羊的概率是2/3，一开始选到车的概率是1/3。
2. 主持人不翻开，而只是在嘉宾选到车的时候给一次疾患误导嘉宾
这时换得到汽车的概率是0%。
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如果翻开的话，换不换都是50%
如果不翻开，换不换都是33.33%
原帖由 Prz 于 2009-8-15 16:46:00 发表
如果主持人并不知道后面是什么，而开出了一只羊，那么当然要换，因为这种情况和1是一样的，换了是2/3的胜率。 |
主持人开出羊和嘉宾并没有关系，嘉宾剩下2个选择，要不是车，要不是羊，50%
seagull - 2009/8/15 20:01:00
如果主持人并不知道后面是什么，就应该刨除主持人翻开是汽车的情况，因为那属于主持人失败……剩下的正好是汽车和羊各1/2。
To 14F：
如果我12楼说的还不够简单，那么我就复杂一点说。
这道题其实要问的是最初的策略得到汽车的概率。最初就决定不换的话，是否有主持人给的机会就没有任何意义了，所以就是1/3。而另外那两个承担了2/3概率，在主持人翻开一个之后，这2/3概率由剩下的那个承担，总和还是一。
这种情况下1/2唯一的来源就是现场的犹豫不决，换不换不知道的话，得汽车的概率是1/2。这跟最初确定策略是不同的。
这个问题还有扩展的，就是可供选择的不只是3个，而是更多，在这种情况下采取什么策略，答案好像是一直不换直到最后两次换，得到车的概率是最高的，证明略了，有兴趣可以自己算一下。
redeemer1001 - 2009/8/15 20:32:00
#15 如果主持人是翻的话（翻羊），那不管开始嘉宾选什么，主持人都会翻掉一个羊，那就变成2选一了，也就是说，嘉宾从一开始就是50%的概率，一是选择车，二是选择羊，2个羊是可以当作一个羊来看的，因为主持人会把一个羊翻掉。
肚子饿的羊 - 2009/8/15 20:52:00
其实改不改都是1/3..
004307ec - 2009/8/15 21:48:00
其实咱想问……|||主持人是不是只有在他选车的时候才干预……还是总是干预说：“要不要重选”
如果是后者……就是1/3
第二个问题同样……如果总是问，那么就是1/2
seagull - 2009/8/15 22:05:00
重新说一遍。（Misha应该明白了）
标准三门问题是：主持人无论在什么情况下都会翻开一只羊，并问嘉宾是否改变主意。
这个问题已经有定论了：获得汽车的概率，不改1/3，改2/3。
主持人是否翻开一只羊，跟第一次选（并坚持不变）的概率是没有影响的。抽签时即使知道了之前人的结果，依然不影响抽签的公平性，因为公平性计算是在抽签开始之前就决定了的。这个问题也一样。
To 16楼：你说的是在翻开羊以后，如果选改变和不改变是等可能的，那么获得车的概率是，1/3*1/2+2/3*1/2=1/2。只可能这样算出来1/2。只从中间的角度考虑是不符合标准三门问题的题意的，也无法解出最优解。
To 社长：如果只在选车的时候干预就是我的12楼的 2号情况。必须固定不改变的策略，有1/3概率获得车，改的话0%。
如果热河情况都问，那么就跟不问没有区别，改不改都是1/3，没有任何意义了。当然开了一只羊的话，那就是标准三门问题了。
004307ec - 2009/8/15 23:15:00
>标准三门问题是：主持人无论在什么情况下都会翻开一只羊，并问嘉宾是否改变主意。
也就是二选一啊……
此时主持人什么时候翻出羊来没关系啊，那么，可以相当于提前翻出。
而且乃不知道后面是啥。
等于没有翻。
论结果不就是 True 和 False 只有两种么么。。。。
redeemer1001 - 2009/8/15 23:25:00
seagull是对的，我给绕进去了。不过你的解答把我弄晕了。
建议看下面这个。
标准三门问题及解答：
维基百科's传送门一个相关视频's传送门
004307ec - 2009/8/15 23:36:00
……||||
回答的是总是换和总是不换的概率区别口牙。。。
如果随机换与不换 （原来理解的，P(换)=0.5,P(不换)=0.5那种-______-b） 那就是1/2（楼上连接中的那种题目下……|）
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是这样吧
1为中奖0为不中
总是换：（选中的）
羊1->羊2被揭示->车->1
以下同理
羊2->1(羊1被揭示)
车->0（反正选中了某只羊）
而选车/羊1/羊2 的概率是相等的，全为1/3.
P=2/3
总是不换：
羊1->0（羊2被揭示）
羊2->0（羊1被揭示）
车->1（某羊被揭示（水羊？））
P=1/3
所以，总是换。和总是不换的概率不同
如果随机决定换与不换，那么合起来计算，概率为1/2
===========================================
感谢各位……特别感谢楼上这位同学的链接- -|||||
Prz - 2009/8/16 3:37:00
其实这个解法对N个问题的设定同样有效。
比如:
50张卡片，只有一张金卡，其他空白，然后让你(嘉宾)和其他49个路人依次选。
作为嘉宾，你可以选择卡片，但是不能翻开；
路人每人只能翻一张你没有选的卡片；
你在路人每翻一张后有机会更改选择。
那么，得到金卡的最佳策略，就是在每一个路人开出空白之后更改自己选择。 |
再比如:
50张卡片，只有一张金卡，其他空白，由你和另外一个嘉宾轮流选择。
每一轮两个人都可以选卡片，但是只有一个人可以翻开。
那么，同样的，得到金卡的最佳策略，就是每一轮都选择不同的卡(不翻都要换)。
而且要注意，上一轮对手没翻的卡是金卡的概率要稍微弱一点，所以你就别选了！:D |
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